最近，王珏老师看到一篇文章
是 南密西西比大学数学系终身教授 丁玖写的
从他个人的角度，探讨成为“好教师”的“条件”。
(相关资料图)
这篇文章并非从“理论”的高度来阐释
完全是一位30多年教龄
且乐于教学、善于教学的老师的个人感悟，
我觉得很有启发、也很有共鸣，
它与从“学习科学”理论角度所作出的研究
是完全可以相互印证的！
我由此联想到最近这些年来，
各种新理念、新概念层出不穷，
却忽视了老师自身的素质和素养。
事实上，
如果老师自身足够优秀的话
即使没有这些新理念、新概念，
同样可以做出好的教学
数千年来、近百年来、直至当下的教学实践
无疑都是以上观点的明证：
好老师（而非新理念），是决定教育质量的关键！即使对于新理念、新概念本身来说
它们是否能落地、能见成效
也依赖于老师的素质和能力！
另一方面，如果这些新理念、新概念逐步被淘汰
一位优秀教师一定仍在发挥他的作用！
以下是丁玖教授的文章 精华摘要
让我们一起来借鉴一位老教授的教学智慧！
（部分内容后面附上我本人的阅读心得，希望没有过多地打扰到大家的阅读思绪）
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现实中普遍的情况是，大学在读生或毕业生要么吐槽数学教科书参考书写得太次，要么埋怨数学正教授副教授教得太差。
倘若一名学生是个有志青年，极具学习的动力，但捧在手里的是粗制滥造甚至错误百出的必修教材，听的是照本宣科或者思维混乱的课堂教学，如果不让其吐出“把教科书摔掉”或“老师可以休矣”的一声叹息乃至满腔怒火，我们的学校就应该关门。
确实，太多的学生数学没学好或终生恨数学，一个 重要原因是老师没教好。因此，探究“数学应该怎么教”是每一位数学教师不得不设法求解的问题，无论他是大学教授还是中小学老师。作为在中国的大学教过三学期基础或专业课、在美国的大学正式教了近33年书的一位老数学教师，我想分享一下自己对这一问题的认识与实践，同时传播我见过的几个教学名师的观念与做法。
条件一：热情似火
美国布朗大学的已故应用数学教授、写过一本巨著《古今数学思想》的克莱因(Morris Kline，1908-1992)，对于课堂教学有过一段精辟论述和殷切期待，翻译成中文是：
“我想力劝每位老师成为演员。他必须借助于如剧场用的每一种设备来使课堂技巧 生机盎然。在适当时他可以也应当成为 戏剧性的。他不仅有事实，而且有火。他甚至可以利用近乎怪癖的举动来激发人们的 兴趣。他不应该害怕 幽默，而应将之应用自如。这样，即使是不相干的笑话或故事也会使课堂极大地 活跃起来。”
数学既是精确演绎的科学，也是语言严密的艺术，她不仅难学，而且难教。这就引出教好数学的一项必要条件： 你必须胸中升起克莱因希望你能点燃的激情之火。
【王珏老师呼应：这块是大家公认、但又不容易解释的。脑科学研究已经清晰地揭示了 “情感”对“认知”具有极为强大的作用，本公众号曾发表过多篇文章进行介绍。】
热爱教书的人几乎都有“ 大嗓门”的特点，他们讲课的声音可以穿透教室的每一个角落，即便是耳背的退休老人，也可以坐在教室的后排旁听，清楚地收到年轻时因贪玩没能学会的知识。 不要低估这个“音响效果”，它是衡量书教得好不好的一个重要指标。
我一生中有幸受教过的几位数学老师，课堂中无一不以 中气饱满留给学生深刻印象。我在南京大学读大一时教我们《线性代数》的林成森老师，他不光中文字发音清楚，语调抑扬顿挫，而且新出场的数学概念也 解释得比水晶还一清二楚。我曾在一部回忆录里写道：“他的课如果听不懂的话，只能要问自己的脑子是否要动个小手术了。”
比他讲课还要“尽情表演”的要算我在密歇根州立大学时的博士论文导师李天岩教授了。他完全有资格充当克莱因教授的“案例”展现给读者示范怎样教书。 那种激情澎湃，那种感染力度，把坐在那里的所有学生都融化了。面对这样的教书先生，学不好才怪呢。
条件二：胸有丘壑，腹有锦绣
这就引出了教好数学的另一个必要条件：自信不应是盲目的自信，而是来自于对所教学科知识的融会贯通和全面了解。
【王珏老师呼应：融会贯通，是对学科理解的极高要求。按照Shulmal教授所提出的PCK理论，这是属于CK——“学科内容知识”的范畴。当今比较流行的 “大概念/大观念”，之所以不容易在一线落地，是因为它要求的并非“教学法知识（PK）”的变革，而是要求老师对“学科内容知识（CK）”有更为深刻的、本源性的理解，这恐怕就超出了大多数老师的现有能力。】
然而，大脑里装有学科知识与教好这门学科还不能彼此等同。就像有人“生来就会教书”，也有人虽然学富五车，却不懂“教书艺术”。后者我在中美读书和教书的生涯中见过一些。满脑学问的人在教书时可能以为对面的学生脑子和他一样灵，接受能力和他一样强，这 大错特错。
“教书学”应该有一条公理：“把学生当作‘笨蛋’”。这样，教书先生就会下功夫做到“将‘笨蛋’教懂”，正如李天岩教授生前所言所做的那样。怀抱这个信念的教师一定不差！
【王珏老师呼应：我老说“ 说人话”，费曼说“ 能让12岁的孩子理解”，都是类似的意思……】
有句俗语形象地说出了对老师的教学要求： 要给学生一杯水，教师就得有一桶水。这一桶水包括临近学科的知识或更高观点的视野。比方说，《数学分析》的主讲老师，如果对近代抽象分析知之甚少，甚至都不知道实变函数或泛函分析的基本内容，可能难以教得“滴水不漏”，当他教到黎曼积分时，不一定能启发学生思考它的局限或科普更一般勒贝格积分的基本思想。德国数学家克莱因 (Filex Klein，1849-1925) 于1872年提出了著名的埃尔兰根纲领，将不同几何看成以不同变换群的某种不变性为其特征，这是对连绵几千年的几何学的一个高屋建瓴的近代观点。他后来写过一本名著《高观点下的初等数学》。如果一名中学数学老师对这本杰作的内容有所领会，就会对教学内容有更深刻的理解，甚至可以指导班上那几个天赋高想吃小灶的少年俊杰尽早接触高一档次的数学。
【王珏老师呼应：1、强调老师和研究者必须要站在“高观点”上，这也是国科大曹则贤教授大力提倡的；2、 与其强调“大概念”，不如强调“高观点”和“学科底层逻辑”--底层逻辑是我个人特别提倡的】
“一桶水”中还有一部分是从“ 学科史 ”的小溪中流进的。对数学教学，这尤其重要，因为向学生传输数学思想的演化以及关键数学家的贡献，不仅丰富了他们对学科的认识，而且也把他们置入了数学文化的氛围。这还有一项好处，以讲几分钟故事的方式，让学生高度绷紧的神经适时放松，提高课堂吸收的效率。当然，这对教师提出了要求：读一些好的学科史书和数学家传记，由此 获得启发心智的历史轨迹， 随时穿插到自己的教学中。
【王珏老师呼应：“学科发展史”是全体老师的必修课，我几年来一直在呼吁！貌似目前还没有受到广大师范院校、教师培训机构的重视。。。】
写得好的数学书逻辑严密，概念清晰，表达严谨，但是为了满足“不说多余的话”这一写作基本要求，它同时也词句精炼。这最后一个特征往往给刚进大学初学高等数学的中学毕业生造成困难，因为他们还在习惯于灌输式的初等教育。这时好老师的作用如“久旱逢甘霖”，其功能是 溯源概念的直觉原点，几何化解析术语内涵的逻辑关系，善用通俗易懂的等价说法复述概念的基本思想 。
【王珏老师呼应：非常赞同这3条！个人理解：溯源直觉原点，这跟“学科发展史”有关；几何化解析，应该等同于我说的“可视化”，通俗易懂的等价方法，大约就是“类比"】
假如一个概念的定义嵌进了好几个逻辑用词，像“任给”、“存在”及“使得”的组合句子，非天才的学生可能读了三遍五遍也可能没有搞清逻辑关系，那么任课老师怎样讲得让全班都能听懂呢？
……我们看看怎样教“函数的极限”这一概念……这个严格的定义是整个微积分的基础，但是 太多的大学新生刚碰到它时被打得鼻塌嘴歪，包括考进南大数学系77级的一部分聪明人。可以说，能不能把这个定义教得让几乎所有同学感到自己的大脑已经“脱胎换骨”，是 衡量能不能成为合格微积分课教师的试金石。
【王珏老师心得：无论教学改革怎么改， ”会讲课“始终是老师的核心能力！ 一味强调”学生中心“，和一味强调”教师中心“一样，都不可取！】
首先，该教师必须对分析数学的基本语言“ε-δ”有深刻的领悟，对ε-δ语言中的逻辑体系透彻了解。他应该用几何的、易懂的中文语言讲解这个数学语言，而不是照本宣科地将整个极限定义读上几遍。没有从根本上启发性地阐述概念，即便重复陈述定义十遍，即便学生能将它熟记于心，还不能保证他们真正理解了它。
让我们仔细检查极限的定义，搞清“任给”和“存在”的逻辑含义。没人不会不懂“任给一个男人，存在一个女人年龄比他大”的意思，这里只需要找到一个比给定男人岁数大的女人就够了，而无需找到最老的女人。貌似难懂的极限定义本质上应该和上句 有同样的逻辑结构，即正数ε给定后，只要找到保证定义末前一不等式隐含后一不等式的 某个正数δ，而无需解出最佳的δ，极限的定义就成立。或言之，满足要求的这个δ依赖于ε，但它并非随ε而被唯一确定， 只需找到一个就够了，而不必费力气找到“最优”的。
【王珏老师心得：这里丁教授采用的是”类比 “的手法--即前文所说“” 通俗易懂的等价方法。类比，是 借助学生所熟悉的事物/现象/语言，来理解陌生的、晦涩的、抽象的知识——因二者有相同的”内在结构特征“，因此很容易理解，本公众号有多篇介绍“类比”思维机制的文章。 】
我用一个稍微高级点的数学例子来说明。假设一位动力系统的好手为他的弟子开了一门研究生基础课《遍历理论导引》。这门课中的一个经典结果叫做“伯克霍夫逐点遍历定理”，它的数学结论是一个等式，等式的左端是一个“平均和”的极限表达式，称为“时间平均”：
lim n →∞ (1/n) Σ k=0 n-1 χ A (S k (x 0 ))，
……（具体讲解过程请参见原文）李天岩教授在讲解的过程中，手嘴并用，说到上文中的某个“部分表达式”，他的手专指那个部分，学生一边听讲，一边目睹， 心领神会。他将时间平均表达式的演化过程讲得再清楚不过了，班上的同学从他对概念 来龙去脉的逻辑梳理，辅之于他那 高低起伏的音量调节、 表情丰富的面部变化、 手舞足蹈的肢体表演，一下子明白了这个长式子“不过如此”，顺利攻破“时间平均”这块堡垒。
原文地址：https://mp.weixin.qq.com/s/Jr4AJPD9BtohTPiaRVUt8Q
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